Тип 19 № 519585 
Числа и их свойства. Числа и их свойства
i
а) Существует ли натуральное число n, делящееся нацело на 12 и при этом имеющее ровно 12 различных натуральных делителей (в число делителей числа n включается единица и само число n)?
б) Найдите все натуральные числа, делящиеся нацело на 14 и имеющие ровно 14 различных натуральных делителей.
в) Существует ли натуральное число, делящееся нацело на 2014 и имеющее ровно 2014 различных делителей?
Решение. a) Например, число 60. Оно имеет ровно 12 делителей: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. Если число n можно разложить на простые множители: 
то количество натуральных делителей числа n равно
Число делителей числа n обычно обозначают 
б) Пусть
Тогда n может иметь ровно два простых делителя, то есть 
или ровно один простой делитель, то есть 
Кроме того, исходное число делится на 2 и 7, поэтому второй случай невозможен и остается два варианта: 
и 
в) Пусть
Тогда, например, подходит число 
Действительно, оно кратно 2014, потому что делится на 2, 19 и 53, и имеет ровно 
делителей.
Ответ: а) да; б) 235 298, 448; в) да.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующий результатов: ― обоснованное решение в п. а; ― пример в п. б; ― искомая оценка в п. в; ― пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
Ответ: а) да; б) 235 298, 448; в) да.
519585
а) да; б) 235 298, 448; в) да.
PDF-версии: