ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 16 № 518112 Добавить в вариант

Мистер Джонсон по случаю своего тридцатилетия открыл 1 октября 2010 года в банке счёт, на который он ежегодно кладет 6000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 30% на сумму, находящуюся на счёте. Через 7 лет 1 октября 2017 года октября, следуя примеру мистера Джонсона, мистер Браун по случаю своего тридцатилетия тоже открыл в банке счет, на который ежегодно кладёт по 13 800 рублей, а банк начисляет 69% в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов мистера Джонсона и мистера Брауна сравняются, если деньги со счетов не снимают?

Спрятать решение

Решение.

Через n лет 1 октября на первом счёте будет сумма (суммируем n + 1 член геометрической прогрессии)

$6000 плюс 6000 умножить на 1,3 плюс ... плюс 6000 умножить на 1,3 в степени n =6000 левая круглая скобка 1 плюс 1,3 плюс ... плюс 1,3 в степени n правая круглая скобка =$
$=6000 умножить на дробь: числитель: 1,3 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 1,3 минус 1 конец дроби =20000 левая круглая скобка 1,3 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка руб. правая круглая скобка .$ $6000 плюс 6000 умножить на 1,3 плюс ... плюс 6000 умножить на 1,3 в степени n =$
$=6000 левая круглая скобка 1 плюс 1,3 плюс ... плюс 1,3 в степени n правая круглая скобка =6000 умножить на дробь: числитель: 1,3 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 1,3 минус 1 конец дроби =$
$=20000 левая круглая скобка 1,3 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка руб. правая круглая скобка .$

В это же время на втором счёте будет сумма

$13800 плюс 13800 умножить на 1,69 плюс ... плюс 13800 умножить на 1,69 в степени левая круглая скобка n минус 7 правая круглая скобка =13800 умножить на дробь: числитель: 1,69 в степени левая круглая скобка n минус 6 правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 1,69 минус 1 конец дроби =20000 левая круглая скобка 1,69 в степени левая круглая скобка n минус 6 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка руб. правая круглая скобка .$ $13800 плюс 13800 умножить на 1,69 плюс ... плюс 13800 умножить на 1,69 в степени левая круглая скобка n минус 7 правая круглая скобка =$
$=13800 умножить на дробь: числитель: 1,69 в степени левая круглая скобка n минус 6 правая круглая скобка минус 1, знаменатель: 1,69 минус 1 конец дроби =20000 левая круглая скобка 1,69 в степени левая круглая скобка n минус 6 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка руб. правая круглая скобка .$

Приравняем эти суммы и решим полученное уравнение:

$20000 левая круглая скобка 1,3 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =20000 левая круглая скобка 1,69 в степени левая круглая скобка n минус 6 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка равносильно 1,3 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка =1,69 в степени левая круглая скобка n минус 6 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 1,3 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка =1,3 в степени левая круглая скобка 2 левая круглая скобка n минус 6 правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно n плюс 1=2n минус 12 равносильно n=13.$ $20000 левая круглая скобка 1,3 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =20000 левая круглая скобка 1,69 в степени левая круглая скобка n минус 6 правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно 1,3 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка =1,69 в степени левая круглая скобка n минус 6 правая круглая скобка равносильно 1,3 в степени левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка =1,3 в степени левая круглая скобка 2 левая круглая скобка n минус 6 правая круглая скобка правая круглая скобка равносильно$
$равносильно n плюс 1=2n минус 12 равносильно n=13.$

Таким образом, суммы на счетах сравняются через 13 лет после открытия первого вклада, то есть в 2023 году.

Ответ: 2023.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Аналоги к заданию № 507714: 518112 Все

Классификатор алгебры: Задачи о вкладах, Задачи о кредитах, Общие задачи по финансовой математике

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Видеокурс · Помощь