PDF-версии: 
Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым
а) Докажите, что прямые CA1 и AB1 перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми CA1 и AB1, если AC = 4, BC = 7.
Решение. а) Заметим, что B1C1 ⊥ C1A1 как катеты прямоугольного треугольника и B1C1 ⊥ C1C, поскольку призма прямая. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости
Кроме того, 
как диагонали квадрата. Далее, AB1 — наклонная, AC1 — ее проекция на плоскость ACA1, 
— прямая в плоскости 
перпендикулярная проекции. По теореме о трёх перпендикулярах 
что и требовалось доказать.
б) Пусть точка M — середина AC1. Тогда искомое расстояние равно расстоянию от точки M до прямой AB1, поскольку прямая A1C перпендикулярна плоскости AB1C1. Это расстояние равно половине высоты прямоугольного треугольника AB1C1, проведённой к гипотенузе, то есть
Ответ: б) 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
Введем прямоугольную систему координат с началом в
Скалярное произведение векторов CA1 и AB1 равно
следовательно, прямые
б) Поскольку a = AC = 4 и b = BC = 7, имеем:
Рассмотрим плоскость α, проходящую через AB1 и параллельную A1C. Вектор 
параллелен плоскости α, а значит, перпендикулярен нормали к ней. Пусть вектор нормали имеет координаты 
тогда 
откуда 
Подставим координаты точек 
получим систему уравнений:
Находим уравнение плоскости α:
Расстояние между прямыми
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |