РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 17 № 517523 Добавить в вариант

Источники:

Задания 16 (С4) ЕГЭ 2017;

ЕГЭ−2025. Основная волна 26.05.2025.

Методы геометрии: Свойства касательных, секущих

Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг четырехугольника

Планиметрическая задача. Окружности и четырехугольники, разные задачи

В трапеции АBCD угол BAD прямой. Окружность, построенная на большем основании АD как на диаметре, пересекает меньшее основание BC в точке C и M.

а)  Докажите, что угол BАM равен углу CАD.

б)  Диагонали трапеции АBCD пересекаются в точке O.

Найдите площадь треугольника АOB, если АB  =  6, а BC  =  4BM.

Решение. а)  Трапеция AMCD вписана в окружность, тогда $AM=CD,$ углы CAD и MDA равны. Углы CAD и BAM равны половине дуги AM, поэтому они равны между собой, что и требовалось доказать.

б)   $AB в квадрате =BM умножить на BC=x умножить на 4x,$ откуда $x=3,$ тогда $BC=12,$ а $AD=15.$ Треугольники AOD и COB подобны, поэтому $дробь: числитель: AO, знаменатель: OC конец дроби = дробь: числитель: AD, знаменатель: BC конец дроби = дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби ,$ тогда $S_AOB= дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби S_ABC= дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 6 умножить на 12=20.$

Ответ: б) $20.$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Ответ: б) $20.$

517523

б) $20.$

Источники:

Задания 16 (С4) ЕГЭ 2017;

ЕГЭ−2025. Основная волна 26.05.2025.

Методы геометрии: Свойства касательных, секущих

Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг четырехугольника

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	517523	б) $20.$