РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Дима и Никита задумали по цифре и сообщили их Маше. Маша нашла сумму этих цифр, их разность, а затем перемножила все 4 числа. Мог ли полученный результат быть равен:

а)  1989?

б)  2012?

в)  2016?

Если нет  — объясните почему, если да  — определите цифры, задуманные Димой и Никитой.

Решение. Пусть Дима задумал цифру х, а Никита  — цифру у. Не теряя общности, можно положить $x больше или равно y.$ Тогда Маша вычисляла произведение $xy левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка .$ Кроме того, множители не равны нулю, и, значит, $0 меньше y меньше x меньше или равно 9.$

а)  Уравнение $xy левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =1989$ не имеет решений в натуральных числах, поскольку его правая часть нечетна, а левая часть четна для любых значений x и y.

б)  Уравнение $xy левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =2012$ также не имеет решений. Для доказательства запишем его в виде $xy левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =4 умножить на 503.$ Число 503 простое, следовательно, один из множителей левой части кратен 503. Но это невозможно, поскольку по условию числа x и y не больше 9.

в)  Уравнение $xy левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =2016$ запишем в виде $xy левая круглая скобка x минус y правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =2 в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка умножить на 3 в квадрате умножить на 7.$

Заметим, что если из чисел x, y, $x минус y$ и $x плюс y$ хотя бы два делятся на 3, то и все они также делятся на 3. Но тогда левая часть делится на 81, а правая  ― нет. Значит, ровно один сомножитель в левой части делится на 3, а следовательно, он делится и на 9. Кроме того, поскольку 7  ― простое число, один из сомножителей левой части делится на 7.

Поскольку $0 меньше y меньше x меньше или равно 9,$ множители y и $x минус y$ не могут делиться на 9. Следовательно, на 9 делится либо $x плюс y,$ либо х. Рассмотрим эти варианты.

Если $x плюс y$ делится на 9, то $x плюс y=9,$ так как $x плюс y меньше 18.$ В этом случае для делимости на 7 либо $x=7$ (тогда $x=7,$ $y=2$   ― не подходит), либо $x минус y=7$ ( $x=8,$ $y=1$   ― не подходит).

Если же $x=9,$ то для делимости на 7 либо $y=7$ (подходит), либо $x минус y=7$ (откуда $y=2$   ― не подходит), либо $x плюс y=14$ (откуда $y=5$   ― не подходит).

Тем самым, только пара $левая круглая скобка 9;7 правая круглая скобка$ является решением.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  да, 9 и 7.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п.  в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	517429	а)  нет; б)  нет; в)  да, 9 и 7.

Ключ