Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырехугольника ABCD в отношении AP : PB = CQ : QB = CW : WD = 1 : 4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW = 12, угол PWQ — острый.
а) Докажите, что треугольник PQW — прямоугольный.
б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD.
а) По теореме синусов в треугольнике PQW имеем 
следовательно, 
отсюда 
Таким образом, 
Следовательно, 
откуда, учитывая, что угол PWQ острый, находим, что 
и, значит, 
(угол QPW также острый, так как QW < PQ), то есть 
Отсюда следует, что треугольник PQW прямоугольный.
б) Треугольники ABC и PBQ подобны с коэффициентом подобия 
Отсюда следует, что PQ и AC параллельны и 
Аналогично QW и BD параллельны и 
Угол между прямыми AC и BD равен углу между прямыми PQ и 
Угол между диагоналями четырёхугольника ABCD прямой. Поэтому его площадь равна 
Ответ: 600.