СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 516256

Точки и — середины рёбер и куба соответственно.

а) Докажите, что прямые и перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку и перпендикулярной прямой , если ребро куба равно 4.

Решение.

а) Проведём отрезок , параллельный Пусть — точка пересечения отрезков и Треугольник прямоугольный с прямым углом при вершине Это следует из равенства треугольников и Значит, прямые и перпендикулярны. Прямые и перпендикулярны, так как прямая перпендикулярна плоскости Поэтому прямая перпендикулярна плоскости , и, следовательно, прямая перпендикулярна прямой

б) Указанное сечение — прямоугольник Его площадь равна

 

Ответ: б)


Аналоги к заданию № 516275: 516256 Все

Спрятать решение · Прототип задания · ·
Вадим Ивершин 25.02.2019 19:11

Другое решение п. а).

 

Проведем прямую B1Q1 параллельно BQ. Пусть ребро куба равно a. Тогда

B1Q1^2=a^2+0,25a^2=1,25a^2,

BP^2=(a^2+0,25a^2=1,25a^2,

PB1^2=a^2+1,25a^2=1,5a^2,

PC=PB,

PQ1^2=1,25a^2+2,25a^2=3,5a^2.

 

Покажем, что PQ1^2=PB1^2+B1Q1^2: PB1^2+B1Q1^2=2,25a^2+1,25a^2=3,5a^2=PQ1^2, следовательно, треугольник PB1Q1 прямоугольный. Тогда где прямая PB1 перпендикулярна прямой B1Q1, а значит, прямая PB1 перпендикулярна и прямой BQ. Что и требовалось доказать.