Точки P и Q — середины рёбер AD и 
куба 
соответственно.
а) Докажите, что прямые 
и QB перпендикулярны.
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точку P и перпендикулярной прямой BQ, если ребро куба равно 4.
а) Проведём отрезок 
параллельный 
Пусть M — точка пересечения отрезков 
и 
Треугольник BMR прямоугольный с прямым углом при вершине 
Это следует из равенства треугольников 
и 
Значит, прямые QB и перпендикулярны. Прямые QB и PR перпендикулярны, так как прямая PR перпендикулярна плоскости 
Поэтому прямая QB перпендикулярна плоскости 
и, следовательно, прямая QB перпендикулярна прямой 
б) Указанное сечение — прямоугольник 
Его площадь равна 
Ответ: б) 
Другое решение п. а).
Проведем прямую B1Q1 параллельно BQ. Пусть ребро куба равно a. Тогда
B1Q1^2=a^2+0,25a^2=1,25a^2,
BP^2=(a^2+0,25a^2=1,25a^2,
PB1^2=a^2+1,25a^2=1,5a^2,
PC=PB,
PQ1^2=1,25a^2+2,25a^2=3,5a^2.
Покажем, что PQ1^2=PB1^2+B1Q1^2: PB1^2+B1Q1^2=2,25a^2+1,25a^2=3,5a^2=PQ1^2, следовательно, треугольник PB1Q1 прямоугольный. Тогда где прямая PB1 перпендикулярна прямой B1Q1, а значит, прямая PB1 перпендикулярна и прямой BQ. Что и требовалось доказать.