РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

В роте два взвода, в первом взводе солдат меньше, чем во втором, но больше, чем 46, а вместе солдат меньше, чем 111. Командир знает, что роту можно построить по несколько человек в ряд так, что в каждом ряду будет одинаковое число солдат, больше 8, и при этом ни в каком ряду не будет солдат из двух разных взводов.

а)  Сколько солдат в первом взводе и сколько во втором? Приведите хотя бы один пример.

б)  Можно ли построить роту указанным способом по 13 солдат в одном ряду?

в)  Сколько в роте может быть солдат?

Решение. а)  Например, 50 и 60 солдат по 10 человек в ряду.

б)  Необходимо, чтобы в обеих ротах было количество человек, кратное 13. Но два наименьших числа, кратных 13 и больших 46, это числа 52 и 65, чья сумма составляет 117, что есть больше, чем 111. Следовательно, пришли к противоречию.

в)  Из пункта б) известно, что 13 солдат в одном ряду быть не может. Легко проверить, что 14, 15 также быть не может. Большее количество также быть не может, так как тогда общее количество будет больше, чем $48\times 2 плюс 16=112.$ Значит, нужно проверять только варианты 9, 10, 11 и 12 человек в ряду.

Пусть 9 солдат в ряду. Тогда возможное общее количество таких людей 99 или 108. Предположим, что их 99, тогда в первом взводе может быть 47, 48, 49 человек, во втором  — 52, 51, 50 человек соответственно. Ни одна из этих пар не делится на 9, поэтому данное решение не подходит. Для 108 людей в роте: первый взвод  — 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53 второй  — 61, 60, 59, 58, 57, 56 55. Так же как и в первом случае, получили, что подходящих пар, делящихся на 9, нет.

Пусть 10 солдат в ряду, тогда в роте может быть 100 и 110 человек. Выполняя аналогичное рассуждение, получаем, что в роте не может быть 100 человек, но может быть 110 (как показано в пункте 1).

Пусть 11 солдат в ряду. В роте может быть 99 и 110 человек. Выше показано, что 99 человек в роте быть не может, а 110 человек может.

Пусть 12 солдат в ряду, тогда в роте может быть 96 и 108 человек. Для 96 человек в роте решений нет, для 108 человек в роте в первом взводе  — 48 человек, во втором  — 60, что удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: а)  например, 50 и 60; б)  нет; в)  108 или 110.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующий результатов: ―  обоснованное решение в п. а; ―  пример в п. б; ―  искомая оценка в п. в; ―  пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

№ п/п	№ задания	Ответ
1	515673	а)  например, 50 и 60; б)  нет; в)  108 или 110.

Ключ