ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д12 C3 № 515210 Добавить в вариант

Решите неравенство $дробь: числитель: 9, знаменатель: 3 плюс логарифм по основанию 3 x умножить на логарифм по основанию 3 дробь: числитель: 9, знаменатель: x конец дроби конец дроби \leqslant\log в квадрате _3 x минус логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x в квадрате , знаменатель: 27 конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

Обозначим $t= логарифм по основанию 3 x$ и сведем все неравенство к $t.$ Получим

$дробь: числитель: 9, знаменатель: 3 плюс t левая круглая скобка 2 минус t правая круглая скобка конец дроби меньше или равно t в квадрате минус левая круглая скобка 2t минус 3 правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: 9, знаменатель: 3 плюс 2t минус t в квадрате конец дроби меньше или равно t в квадрате минус 2t плюс 3 равносильно дробь: числитель: 9 минус левая круглая скобка 3 плюс 2t минус t в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2t плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$ $дробь: числитель: 9, знаменатель: 3 плюс t левая круглая скобка 2 минус t правая круглая скобка конец дроби меньше или равно t в квадрате минус левая круглая скобка 2t минус 3 правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: 9, знаменатель: 3 плюс 2t минус t в квадрате конец дроби меньше или равно t в квадрате минус 2t плюс 3 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 9 минус левая круглая скобка 3 плюс 2t минус t в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2t плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$ $дробь: числитель: 9, знаменатель: 3 плюс t левая круглая скобка 2 минус t правая круглая скобка конец дроби меньше или равно t в квадрате минус левая круглая скобка 2t минус 3 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 9, знаменатель: 3 плюс 2t минус t в квадрате конец дроби меньше или равно t в квадрате минус 2t плюс 3 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 9 минус левая круглая скобка 3 плюс 2t минус t в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2t плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 9 плюс левая круглая скобка t в квадрате минус 2t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2t плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.$ $равносильно дробь: числитель: 9 плюс левая круглая скобка t в квадрате минус 2t минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t в квадрате минус 2t плюс 3 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t в квадрате минус 2t правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: t в квадрате левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка в квадрате , знаменатель: левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка конец дроби больше или равно 0.$

Решая неравенство методом интервалов, получим $t принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 1 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 0;2 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 3; бесконечность правая круглая скобка .$ Отсюда $x принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 1; 9 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 27; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Ответ: $x принадлежит левая круглая скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка 1; 9 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 27; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения неравенства	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 171

Классификатор алгебры: Неравенства, рациональные относительно логарифмической функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь