ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д12 C3 № 515136 Добавить в вариант

Решите неравенство $логарифм по основанию левая круглая скобка 2 плюс x правая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби плюс логарифм по основанию левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка 3\leqslant0.$

Спрятать решение

Решение.

Перейдем к основанию $3.$ Получим

$дробь: числитель: минус 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 плюс x правая круглая скобка конец дроби плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$

Сразу отметим, что $x принадлежит левая круглая скобка минус 2;2 правая круглая скобка ,$ $x не равно \pm 1.$

$дробь: числитель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 плюс x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 плюс x правая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 плюс x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 плюс x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0$ $дробь: числитель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 плюс x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка , знаменатель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 плюс x правая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 плюс x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 плюс x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 1 правая круглая скобка левая круглая скобка логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка минус логарифм по основанию 3 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0$

Воспользуемся методом рационализации:

$дробь: числитель: левая круглая скобка 2 плюс x правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 плюс x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2x, знаменатель: левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0\Rightarrow x принадлежит левая круглая скобка минус 1; 0 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$ $дробь: числитель: левая круглая скобка 2 плюс x правая круглая скобка минус левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2 плюс x минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 минус x минус 1 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно$
$равносильно дробь: числитель: 2x, знаменатель: левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0\Rightarrow x принадлежит левая круглая скобка минус 1; 0 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Учитывая ограничения, полученные ранее, получаем ответ $x принадлежит левая круглая скобка минус 1; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1;2 правая круглая скобка .$

Ответ: $x принадлежит левая круглая скобка минус 1; 0 правая квадратная скобка \cup левая круглая скобка 1; 2 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 169

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь