Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д19 C7 № 515111

Многозначное  число 123456789101112…9991000  получено  в  результате  последовательной записи без пробелов тысячи первых натуральных чисел.  

а)  Какое  наибольшее  количество  одинаковых  цифр,  стоящих  рядом,  содержится  в  записи этого числа?  

б)  Сколько всего цифр содержится в записи данного числа?   

в)  Какая цифра в записи этого числа стоит на 2016‐м месте?

Спрятать решение

Решение.

а)  Поскольку два последовательных числа заканчиваются на разные цифры, среди любых шести цифр подряд встретятся минимум две конечных и они будут различны. Пять одинаковых цифр есть, например, в записи чисел 111 и 112.

б)  Всего есть 9 однозначных чисел, 90 двузначных, 900 трехзначных и одно четырехзначное. Это дает 9 плюс 180 плюс 2700 плюс 4=2893 цифры.

в)  После первых 189 цифр идут трехзначные числа. 2016 минус 189=1827=3 умножить на 609, поэтому нужная цифра  — последняя в 609 трехзначном числе. Это восьмерка в числе 708.

 

Ответ: а) 5; б) 2893; в) 8.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующих результатов:

— пример в п. а;

— обоснованное решение п. б;

— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);

— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 165.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства