PDF-версии: 
На рёбрах CD и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 12 отмечены точки Р и Q соответственно, причём DP = 4, а B1Q = 3. Плоскость APQ пересекает ребро CC1 в точке М.
а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки С до плоскости APQ.
Решение. а) Пусть прямые АР и ВС пересекаются в точке R (см. рис.). Тогда точка М — точка пересечения прямых QR и СС1.
Треугольники ARB и PRC подобны, откуда 
Треугольники QRB и MRC подобны, откуда 
следовательно, 
Значит, М — середина СС1.
б) Расстояние от точки С до плоскости APQ равно высоте h пирамиды CPRM, опущенной из вершины С. Объём пирамиды CPRM, с одной стороны
C другой стороны, 
Значит, 
В треугольнике RPM находим стороны: 
По теореме косинусов
откуда 
Площадь треугольника RPM равна
Следовательно,
Ответ: б) 
Приведём идею решения Евгения Матвеева.
В системе координат с началом в точке 
уравнение плоскости APQ имеет вид 
Координаты точки М() с координатами
Расстояние от С до плоскости APQ равно
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке B, как показано на рисунке. Тогда в этой системе координат имеем:
Пусть точка M — середина отрезка CC1. Тогда координаты точки M равны (0; 12; 6). Подставим координаты точек плоскости A, P и Q в уравнение плоскости 
получим:
Находим уравнение плоскости APQ:
Подставим координаты точки M в уравнение плоскости:
следовательно, точка M принадлежит плоскости APQ.
б) Найдём расстояние от точки C до плоскости APQ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |