Тип 17 № 514097 
Планиметрическая задача. Окружности и четырехугольники, разные задачи
i
Одна окружность вписана в прямоугольную трапецию, а вторая касается большей боковой стороны и продолжений оснований.
а) Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно большей боковой стороне трапеции.
б) Найдите расстояние от вершины одного из прямых углов трапеции до центра второй окружности, если точка касания первой окружности с большей боковой стороной трапеции делит её на отрезки, равные 2 и 50.
Решение. 
а) Пусть O — центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию ABCD с основаниями AD и BC, O1 — центр окружности, касающейся большей боковой стороны и продолжений оснований трапеции (рис. 1).
Точка O лежит на биссектрисах углов BCD и ADC, следовательно,
Точка O1 лежит на биссектрисе угла, смежного с углом BCD, значит, 
Аналогично, углы CO1D и ODO1 — прямые. Значит, OCO1D — прямоугольник, поэтому CD = OO1.
б) Пусть окружность, вписанная в трапецию ABCD, касается стороны AD в точке P, а стороны CD — в точке M, вторая окружность касается прямой AD в точке Q (рис. 2).
Радиусы окружностей OP и O1Q равны половине расстояния между параллельными прямыми AD и BC. Получаем, что OO1QP — прямоугольник, следовательно, OO1 = PQ.
В прямоугольном треугольнике COD имеем:
В прямоугольном треугольнике AQO1 имеем:
Расстояние от вершины прямого угла трапеции до центра второй окружности равно
Ответ: 
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: 
PDF-версии: