ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 513783 Добавить в вариант

а)  Можно ли занумеровать рёбра куба натуральными числами от 1 до 12 так, чтобы для каждой вершины куба сумма номеров рёбер, которые в ней сходятся, была одинаковой?

б)  Аналогичный вопрос, если расставлять по рёбрам куба числа –6, –5, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Спрятать решение

Решение.

а)  Сложим числа вокруг каждой вершины и потом сложим все 8 сумм. С одной стороны, каждое число на ребре посчитано два раза, поэтому сумма равна $2 левая круглая скобка 1 плюс 2 плюс \ldots плюс 12 правая круглая скобка =156,$ с другой стороны, она равна 8x, где x  — сумма чисел на ребрах вокруг одной вершины. Но 156 не делится на 8.

б)  Пусть вершины куба названы $ABCDA_1B_1C_1D_1.$ Поставим на ребрах числа так:

$AB минус минус 1, BC минус минус 3, CD минус минус 2, DA минус минус минус$
$минус 6, A_1B_1 минус минус минус 2, B_1C_1 минус минус 6, C_1D_1 минус минус минус 1,$ $AB минус минус 1, BC минус минус 3, CD минус минус$
$минус 2, DA минус минус минус 6, A_1B_1 минус минус минус$
$минус 2, B_1C_1 минус минус 6, C_1D_1 минус минус минус 1,$

$D_1A_1 минус минус минус 3, AA_1 минус минус 5, BB_1 минус минус минус 4, CC_1 минус минус минус 5,DD_1 минус минус 4.$

Тогда суммы вокруг всех вершин равны 0.

Ответ а) нет, б) да.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 149

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь