Две окружности касаются внутренним образом в точке А так, что меньшая окружность проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке K. Прямые AB и АС вторично пересекают меньшую окружность в точках P и M соответственно.
а) Докажите, что PM || BC.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если PM = 12, а радиус большей окружности равен 20.
а) Обозначим за O центр большей окружности. Поскольку 
(опираются на диаметр AO меньшей окружности), а треугольники AOC и AOB равнобедренные, то OM и OP — медианы этих треугольников (поскольку являются высотами). Тогда M и P — середины отрезков AC и AB, а MP — средняя линия треугольника ABC и параллельна его основанию.
б) Из доказанного в первом пункте следует, что 
Обозначим центр меньшей окружности за 
и опустим перпендикуляры 
на BC. Тогда H — середина BC и поэтому
Кроме того, 
поскольку хорда касается меньшей окружности.
Заметим, что 
— прямоугольная трапеция, в которой 
— отрезок, параллельный основаниям и проходящий через середину боковой стороны, то есть средняя линия. Поэтому 
Значит,
Ответ: 48.