В футбольной команде «Метеор» 16 человек (11 основных игроков и 5 запасных). Известно, что возраст (число полных лет) у всех игроков различный, причем самому младшему 16 лет, а самому старшему 40 лет. Помощник тренера перед началом матча посчитал средний возраст всех 16 игроков команды, а во время матча — средний возраст 11 человек, вышедших на поле в основном составе.
А) Мог ли средний возраст всей команды и ее основного состава оказаться одинаковым?
Б) Мог ли средний возраст всей команды и ее основного состава отличаться ровно на 5 лет?
В) Найдите наибольшее возможное значение разности между средним возрастом всей команды и средним возрастом ее основного состава.
Обозначим сумму возрастов 11-ти основных игроков за x, сумму возрастов всех 16-ти игроков за y+56, сумму возрастов пяти запасных игроков за z.
а) Получаем равенство: 
Перепишем его по-другому: 
11 и 16 взаимно просты, поэтому x должно делиться на 11, а y+56 должно делиться на 16. Значит, x=11n, y=16k+8, где n,k - натуральные числа. После упрощений получаем равенство: 
Получается, что 
Пусть k=21, тогда x=275, y=344. Тогда игроки основного состава могут иметь такой возраст: 20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30 лет. Запасные тогда могут иметь возраст: 16,17,18,34,40 лет. Средний возраст и основного состава и всей команды равен 25 лет.
б) Получаем равенство: 
Перепишем его по-другому: 
11 и 16 взаимно просты, поэтому x должно делиться на 11, а y-24 должно делиться на 16. Значит, x=11n, y=16k+8, где n,k - натуральные числа. После упрощений получаем равенство: 
Получается, что 
Пусть k=22, тогда x=231, y=360. Тогда игроки основного состава могут иметь такой возраст: 16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26 лет. Запасные тогда могут иметь возраст: 31,37,38,39,40 лет. Средний возраст основного состава равен 21 году, средний возраст всей команды равен 26 лет.
в) Запишем разность между средним возрастом всей команды и средним возрастом ее основного состава в виде: 
Она будет наибольшей, если z максимально возможное, а x минимально возможное. Пусть запасные имеют возраст 36,37,38,39,40 лет, а возраст основного состава таков: 16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26. Тогда 
Искомая разность тогда равна 5,3125.
Ответ: а) да; б) да; в) 5,3125.