а)  За­ме­тим, что в те­че­ние часа есть ровно два мо­мен­та, когда ча­со­вая и ми­нут­ная стрел­ки об­ра­зу­ют пря­мой угол: когда ми­нут­ная стрел­ка на­хо­дит­ся "по­за­ди" ча­со­вой и когда она на­хо­дит­ся "впе­ре­ди" ча­со­вой. По­лу­ча­ет­ся по­ло­же­ний, но при таком под­сче­те два­жды учи­ты­ва­ют­ся такие мо­мен­ты вре­ме­ни как 3:00, 9:00, 15:00, 21:00 (то есть те, когда время со­став­ля­ет целое число часов, и угол между стрел­ка­ми пря­мой). По­это­му всего ин­те­рес­ных мо­мен­тов будет 48-4=44.

б)  Пусть после по­лу­но­чи про­шло x минут. Ми­нут­ная стрел­ка долж­на обо­гнать ча­со­вую на чет­верть ци­фер­бла­та (15 минут), при этом дви­жет­ся она в 12 раз быст­рее. По­лу­ча­ем урав­не­ние: Решая его, по­лу­чим ответ: (минут).

в)  Пусть между двумя та­ки­ми мо­мен­та­ми про­шло x минут. Ми­нут­ная стрел­ка долж­на прой­ти на по­ло­ви­ну ци­фер­бла­та (30 минут) боль­ше, чем ча­со­вая. По­лу­ча­ем урав­не­ние: Решая его, по­лу­ча­ем ответ: (минут). За­ме­тим, что про­ме­жут­ки между ин­те­рес­ны­ми мо­мен­та­ми всё время оди­на­ко­вы.

Ответ: а) 44; б) 0 ч 16 мин в) 32 мин