Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 511411

В конус, радиус основания которого равен 6, вписан шар радиуса 3.

а) Изобразите осевое сечение комбинации этих тел.

б) Найдите отношение площади полной поверхности конуса к площади поверхности шара.

Решение.

а) Осевым сечением является равнобедренный треугольник ABC, боковые стороны которого являются образующими конуса, а основанием — его диаметр, и вписанная в треугольник окружность, радиус которой равен радиусу шара (см. рис.).

б) Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть O — центр вписанной окружности, отрезок CO — биссектриса угла ACB и пусть \widehat{HCO}=\alpha , имеем:

тангенс \alpha = дробь, числитель — OH, знаменатель — HC = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 , тангенс \widehat{HCB}= тангенс 2\alpha = дробь, числитель — 2 тангенс \alpha , знаменатель — 1 минус {{ тангенс в степени 2 }\alpha }= дробь, числитель — 2 умножить на дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 , знаменатель — { 1 минус {{ левая круглая скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 правая круглая скобка } в степени 2 }}= дробь, числитель — 4, знаменатель — 3 .

Тогда BH=HC тангенс \widehat{HCB}=8,BC= корень из { {{6} в степени 2 } плюс {{8} в степени 2 }}=10. Для площадей поверхностей конуса и шара имеем: {{S}_{кон}}= Пи {{R} в степени 2 } плюс Пи Rl=36 Пи плюс 60 Пи =96 Пи ,{{S}_{ш}=4 Пи {{r} в степени 2 }=4 Пи {{(3)} в степени 2 }=36 Пи . Тем самым, искомое отношение равно дробь, числитель — 96, знаменатель — 36 или 8:3.

 

Ответ: 8:3.


Аналоги к заданию № 505566: 511411 Все

Спрятать решение · Прототип задания · · Курс 80 баллов · Курс Д. Д. Гущина ·