Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те все зна­че­ния a, при ко­то­рых не­ра­вен­ство  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 плюс 2x в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: 1 плюс x в сте­пе­ни 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 плюс 4x в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: 1 плюс x в сте­пе­ни 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 1 вы­пол­ня­ет­ся для всех дей­стви­тель­ных зна­че­ний x.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что

 дробь: чис­ли­тель: 3 плюс 2x в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: 1 плюс x в сте­пе­ни 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1 плюс 2 левая круг­лая скоб­ка 1 плюс x в сте­пе­ни 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 1 плюс x в сте­пе­ни 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 плюс x в сте­пе­ни 4 конец дроби плюс 2,

 дробь: чис­ли­тель: 5 плюс 4x в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: 1 плюс x в сте­пе­ни 4 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 плюс x в сте­пе­ни 4 конец дроби плюс 4.

Пусть t= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 плюс x в сте­пе­ни 4 конец дроби плюс 2. Ввиду того, что 1\leqslant1 плюс x в сте­пе­ни 4 мень­ше плюс бес­ко­неч­ность мно­же­ством зна­че­ний вы­ра­же­ния  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 плюс x в сте­пе­ни 4 конец дроби плюс 2 при x при­над­ле­жит R яв­ля­ет­ся про­ме­жу­ток  левая круг­лая скоб­ка 2, 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . Зна­чит, не­ра­вен­ство  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3 плюс 2x в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: 1 плюс x в сте­пе­ни 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 5 плюс 4x в сте­пе­ни 4 , зна­ме­на­тель: 1 плюс x в сте­пе­ни 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 1 вы­пол­ня­ет­ся для всех дей­стви­тель­ных зна­че­ний x тогда и толь­ко тогда, когда на про­ме­жут­ке  левая круг­лая скоб­ка 2, 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка вы­пол­ня­ет­ся не­ра­вен­ство  ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка минус a пра­вая круг­лая скоб­ка t плюс ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка t плюс 2 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 1 левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка .

Далее имеем:

1)  если 0 мень­ше минус a мень­ше 1, то не­ра­вен­ство  левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка не имеет ре­ше­ний на про­ме­жут­ке  левая круг­лая скоб­ка 2, 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , так как на этом про­ме­жут­ке оба сла­га­е­мых левой части не­ра­вен­ства от­ри­ца­тель­ны;

2)  если  минус a боль­ше 1, то не­ра­вен­ство  левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но не­ра­вен­ству

t в квад­ра­те плюс 2t плюс a боль­ше 0.

Функ­ция f левая круг­лая скоб­ка t пра­вая круг­лая скоб­ка =t в квад­ра­те плюс 2t плюс a долж­на быть по­ло­жи­тель­на на про­ме­жут­ке  левая круг­лая скоб­ка 2, 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , зна­чит, ее гра­фик дол­жен быть рас­по­ло­жен выше ин­тер­ва­ла  левая круг­лая скоб­ка 2, 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка оси абс­цисс, то есть, долж­но вы­пол­нять­ся усло­вие f левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \geqslant0 (см.ри­су­нок). Решая не­ра­вен­ство 8 плюс a\geqslant0 с уче­том усло­вия  минус a боль­ше 1, окон­ча­тель­но по­лу­ча­ем 1 мень­ше минус a\leqslant8.

 

Ответ:  минус 8 мень­ше или равно a мень­ше минус 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
Обос­но­ва­но по­лу­чен ответ от­ли­ча­ю­щий­ся от вер­но­го толь­ко ис­клю­че­ни­ем и/или вклю­че­ни­ем ГРА­НИЧ­НЫХ точек

ИЛИ

Ответ не­ве­рен вслед­ствие одной вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки (опис­ки), не по­вли­яв­шей на ход ре­ше­ния и не упро­стив­шей за­да­чу.

3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны ис­ко­мые зна­че­ния a, воз­мож­но не­вер­ные, из-за не­вер­ной оцен­ки вве­ден­ной пе­ре­мен­ной t.2
За­да­ча све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния гра­фи­ка функ­ции и от­рез­ка (2; 3] или (при ана­ли­ти­че­ском ре­ше­нии) най­де­но мно­же­ство зна­че­ний функ­ции y = t в квад­ра­те плюс 2t, но даль­ней­шие рас­суж­де­ния не­вер­ны или от­сут­ству­ют.1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0

Аналоги к заданию № 504833: 504854 511394 Все

Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром, Не­ра­вен­ства сме­шан­но­го типа
Методы алгебры: Ис­поль­зо­ва­ние сим­мет­рий, оце­нок, мо­но­тон­но­сти, Ис­поль­зо­ва­ние сим­мет­рий, оце­нок, мо­но­тон­но­сти, Груп­пи­ров­ка