Ре­ше­ние. а)  Пусть AC  =  b, BC  =  a, AB  =  c. И пусть пло­щадь лу­ноч­ки, огра­ни­чен­ной ка­те­том b и дугой окруж­но­сти ω будет равна D₁, а пло­щадь лу­ноч­ки огра­ни­чен­ной ка­те­том a и дугой окруж­но­сти ω будет равна D₂. Тогда пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC (обо­зна­чим S_Δ) будет вы­ра­же­на так:

Най­дем пло­щадь S₁ лу­ноч­ки, ко­то­рая огра­ни­че­на по­лу­окруж­но­стя­ми ω и ω₁.

Ана­ло­гич­но най­дем пло­щадь S₂ лу­ноч­ки, огра­ни­чен­ной по­лу­окруж­но­стя­ми ω и ω₂,

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: зна­чит, (**)

Пра­вые части ра­венств (*) и (**) сов­па­да­ют, сле­до­ва­тель­но, обя­за­ны сов­пасть и левые части, т. е. что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Со­еди­ним от­рез­ком цен­тры окруж­но­стей ω₁ и ω₂, точки O₁ и O₂ со­от­вет­ствен­но. Про­ве­дем ра­ди­у­сы O₁M, O₂P. Ясно, что O₁M ⊥ l, O₂P ⊥ l, O₁M || O₂P, O₁MPO₂  — тра­пе­ция,

Итак, MP²  =  49, MP  =  7.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние:

а)  Пусть AC  =  b, BC  =  a, AB  =  c. И пусть пло­щадь лу­ноч­ки, огра­ни­чен­ной ка­те­том b и по­лу­окруж­но­стью ω, равна D₁, ка­те­том a и по­лу­окруж­но­стью ω равна D₂. Тогда

Пра­вые части ра­венств (*) и (**) сов­па­да­ют, сле­до­ва­тель­но, обя­за­ны сов­пасть и левые части, т. е. что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Со­еди­ним от­рез­ком цен­тры окруж­но­стей ω₁ и ω₂, точки O₁ и O₂ со­от­вет­ствен­но. Про­ве­дем ра­ди­у­сы O₁M, O₂P. Ясно, что O₁M ⊥ l, O₂P ⊥ l, зна­чит, O₁M || O₂P, O₁MPO₂  — тра­пе­ция. Про­ве­дем O₂K, K ∈ O₁M, O₂K || MP.

Итак, MP²  =  9, MP  =  7.

Ответ: б) 7.