СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д12 C4 № 511108

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей их этих окружностей.

б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.

Решение.

а) Пусть AB — диаметр большей из трёх окружностей, O — её центр, O1 — центр окружности радиуса r, кающийся окружности с диаметром AB в точке A, O2 — центр окружности радиуса R, касающийся окружности с диаметром AB в точке C, окружности с центром O1 — в точке D, отрезка AB — в точке E. Точки O, O2 и C лежат на одной прямой, поэтому OO2 = OC − O2C = OC − R.

Аналогично OO1=OA − O1A=OA − r, O1O2 = O1D + O2D = r + R.

Следовательно, периметр треугольника OO1O2 равен

б) Пусть OA = 6, r = 2. Тогда

Из прямоугольных треугольников O1O2E и OO2E находим, что

Возможны два случая: (O лежит между E и O1) и (E лежит между O и O1). Это дает нам два уравнения и , которые имеют общее решение R = 3, это означает, что диаметр искомой окружности равен радиусу наибольшей из трёх окружностей, что точка E совпадает с O.

 

Ответ: 3.

Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности
Спрятать решение · ·
Никита Андреев 05.06.2016 20:08

Почему точки C, O2 и О лежат на одной прямой!?

Константин Лавров

Потому, что радиусы окружностей проведенные в точку касания перпендикулярны общей касательной.