Ре­ше­ние. а)  Пусть AB  — диа­метр боль­шей из трёх окруж­но­стей, O  — её центр, O₁  — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са r, ка­ю­щий­ся окруж­но­сти с диа­мет­ром AB в точке A, O₂  — центр окруж­но­сти ра­ди­у­са R, ка­са­ю­щий­ся окруж­но­сти с диа­мет­ром AB в точке C, окруж­но­сти с цен­тром O₁  — в точке D, от­рез­ка AB  — в точке E. Точки O, O₂ и C лежат на одной пря­мой, по­это­му OO₂  =  OC − O₂C  =  OC − R.

Ана­ло­гич­но OO₁=OA − O₁A=OA − r, O₁O₂ = O₁D + O₂D = r + R.

Сле­до­ва­тель­но, пе­ри­метр тре­уголь­ни­ка OO₁O₂ равен

б)  Пусть OA = 6, r = 2. Тогда

Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков O₁O₂E и OO₂E на­хо­дим, что

Воз­мож­ны два слу­чая: (O лежит между E и O₁) и (E лежит между O и O₁). Это дает нам два урав­не­ния и ко­то­рые имеют общее ре­ше­ние R = 3, это озна­ча­ет, что диа­метр ис­ко­мой окруж­но­сти равен ра­ди­у­су наи­боль­шей из трёх окруж­но­стей, что точка E сов­па­да­ет с O.

Ответ: 3.