Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.
б) Найдите BC, если AH = 4 и ∠BAC = 60°.
а) В четырёхугольнике
углы 
и 
— прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Вписанные углы 
и 
опираются на одну дугу, следовательно, 
Углы 
и 
— прямые, значит, точки 
и лежат на окружности с диаметром 
Следовательно,
Получаем, что 
б) В треугольнике 
диаметр описанной окружности 
откуда
В прямоугольном треугольнике 
имеем:
В прямоугольном треугольнике 
имеем:
Получаем, что 
Треугольники ABC и имеют общий угол A и 
следовательно, они подобны. Тогда 
Значит,
Ответ: 
Приведём другое решение.
а) Поскольку AA1 — перпендикуляр к ВС, а BB1 — перпендикуляр к AС (см. рис.), углы AHB1 и ACB равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.
б) Сторона треугольника, величина противолежащего ей угла и отрезок высоты, проведённой из вершины этого угла в точку пересечения высот треугольника, связаны соотношением: 
откуда 
----------
Дублирует задание 505425.