PDF-версии: 
Высоты BB1 и CC1 остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.
а) Докажите, что ∠AHB1 = ∠ACB.
б) Найдите BC, если AH = 4 и ∠BAC = 60°.
Решение. а) В четырёхугольнике
углы 
и 
— прямые, следовательно, около этого четырёхугольника можно описать окружность, причём AH — её диаметр. Вписанные углы 
и 
опираются на одну дугу, следовательно, 
Углы 
и 
— прямые, значит, точки 
и лежат на окружности с диаметром 
Следовательно,
Получаем, что 
б) В треугольнике 
диаметр описанной окружности 
откуда
В прямоугольном треугольнике 
имеем:
В прямоугольном треугольнике 
имеем:
Получаем, что 
Треугольники ABC и имеют общий угол A и 
следовательно, они подобны. Тогда 
Значит,
Ответ: 
Приведём другое решение.
а) Поскольку AA1 — перпендикуляр к ВС, а BB1 — перпендикуляр к AС (см. рис.), углы AHB1 и ACB равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.
б) Сторона треугольника, величина противолежащего ей угла и отрезок высоты, проведённой из вершины этого угла в точку пересечения высот треугольника, связаны соотношением: 
откуда 
----------
Дублирует задание 505425.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |