РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Источники:

ЕГЭ по математике 28.04.2014. Досрочная волна. Вариант 1;

Задания 14 (С2) ЕГЭ 2014.

Радиус основания конуса с вершиной P равен 6, а длина его образующей равна 9. На окружности основания конуса выбраны точки A и B, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1 : 3.

а)  Докажите, что угол $\angle APB$ меньше $60 градусов.$

б)  Найдите площадь сечения конуса плоскостью ABP.

Решение.

а)  Пусть O  — центр основания конуса, M  — середина хорды AB. Дуга AB составляет четверть окружности основания, поэтому $\angle$ AOB  =  90°. Треугольник AOB равнобедренный, следовательно,

$AB=2AM=2AO синус дробь: числитель: \angle AOB, знаменатель: 2 конец дроби =6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента .$

$6 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента = корень из: начало аргумента: 72 конец аргумента меньше 9,$ поэтому в равнобедренном треугольнике APB основание меньше боковой стороны, значит, угол при вершине наименьший, поэтому он меньше $60 градусов.$

Равнобедренный треугольник APB  — искомое сечение. Отрезок PM  — его высота, $PM = корень из: начало аргумента: AP в квадрате минус AM в квадрате конец аргумента = 3 корень из: начало аргумента: 7 конец аргумента .$

Площадь искомого сечения равна

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби PM умножить на AB = 9 корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента .$

Ответ: $9 корень из: начало аргумента: 14 конец аргумента .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Источники:

ЕГЭ по математике 28.04.2014. Досрочная волна. Вариант 1;

Задания 14 (С2) ЕГЭ 2014.

Ключ