Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д14 C4 № 510744
i

Угол C тре­уголь­ни­ка ABC равен 60°, D  — от­лич­ная от A точка пе­ре­се­че­ния окруж­но­стей, по­стро­ен­ных на сто­ро­нах AB и AC как на диа­мет­рах. Из­вест­но, что DB : DC  =  1 : 3. Най­ди­те угол A.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Точка D лежит на окруж­но­сти с диа­мет­ром AB, по­это­му ∠CDA  =  90°. Ана­ло­гич­но, ∠BDA  =  90°. Сле­до­ва­тель­но, точка D лежит на пря­мой BC.

Воз­мож­ны два слу­чая: точка D лежит либо на от­рез­ке BC (рис. 1), либо

на про­дол­же­нии от­рез­ка BC за точку B (рис. 2). Точка D не может ле­жать на про­дол­же­нии от­рез­ка BC за точку C, так как угол ACB  — ост­рый.

По­ло­жим DB  =  t, DC  =  3t. Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков ADC и ADB на­хо­дим:

AD=CD ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та =3t ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та ,

AB= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AD в квад­ра­те плюс BD в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 27t в квад­ра­те плюс t в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =2t ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

Рас­смот­рим пер­вый слу­чай. По тео­ре­ме си­ну­сов дробь: чис­ли­тель: синус A, зна­ме­на­тель: BC конец дроби = дробь: чис­ли­тель: синус C, зна­ме­на­тель: AB конец дроби , то есть дробь: чис­ли­тель: синус A, зна­ме­на­тель: 4t конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \dfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби 2t ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , от­ку­да синус A= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби .

Во вто­ром слу­чае дробь: чис­ли­тель: синус A, зна­ме­на­тель: 2t конец дроби = дробь: чис­ли­тель: \dfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби 2t ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та , от­ку­да синус A= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби .

По­сколь­ку BC < AC, по­лу­ча­ем: ∠BAC < ∠ABC, зна­чит, ∠BAC  — ост­рый и равен арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби или арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби .

 

Ответ: арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби , арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Рас­смот­ре­ны все воз­мож­ные гео­мет­ри­че­ские кон­фи­гу­ра­ции и по­лу­чен пра­виль­ный ответ3
Рас­смот­ре­на хотя бы одна воз­мож­ная кон­фи­гу­ра­ция, в ко­то­рой по­лу­че­но пра­виль­ное зна­че­ние ис­ко­мой ве­ли­чи­ны2
Рас­смот­ре­на хотя бы одна воз­мож­ная гео­мет­ри­че­ская кон­фи­гу­ра­ция, в ко­то­рой по­лу­че­но зна­че­ние ис­ко­мой ве­ли­чи­ны, не­пра­виль­ное из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источники:
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025