Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д14 C4 № 510709
i

Окруж­но­сти ра­ди­у­сов 2 и 3 с цен­тра­ми O1 и O2 со­от­вет­ствен­но ка­са­ют­ся в точке A. Пря­мая, про­хо­дя­щая через точку A, вто­рич­но пе­ре­се­ка­ет мень­шую окруж­ность в точке B, а боль­шую  — в точке C. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BCO2 , если ∠ABO1  =  30°.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Точки O_1 O_2 \enskip и \enskip А лежат на одной пря­мой. По­сколь­ку тре­уголь­ни­ки BO_1A и CO_2A рав­но­бед­рен­ные, \angle ABO_1 = \angle BAO_1 = \angle CAO_2 = \angle ACO_2= 30 гра­ду­сов, от­ку­да AB=2O_1A умно­жить на ко­си­нус 30 гра­ду­сов=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , \enskip AC=2O_2A умно­жить на ко­си­нус 30 гра­ду­сов=3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Воз­мож­ны два слу­чая. Пер­вый слу­чай: окруж­но­сти ка­са­ют­ся внут­рен­ним об­ра­зом (рис. 1),тогда точка B лежит

между точ­ка­ми А и С, от­ку­да BC=AC минус AB= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

S_BCO_2= дробь: чис­ли­тель: BC умно­жить на CO_2 умно­жить на синус \angle BCO_2, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Вто­рой слу­чай: окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом (рис. 2), тогда точка А лежит между точ­ка­ми B и С, BC=AC плюс AB=5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

S_BCO_2= дробь: чис­ли­тель: BC умно­жить на CO_2 умно­жить на синус \angle BCO_2, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 15 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 15 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; \enskip дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби

 

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 501692.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источники:
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и си­сте­мы окруж­но­стей
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025