PDF-версии: 
Основанием прямой призмы ABCA1B1C1 является равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC = 5 и BC = 8. Высота призмы равна 3.
а) Докажите, что треугольник A1BC остроугольный.
б) Найдите угол между прямой A1B и плоскостью BCC1.
Решение. а) Найдем по теореме Пифагора A1B:
Отсюда
поэтому по теореме косинусов 
то есть угол BA1C острый. Два других угла треугольника A1BC острые как углы при основании равнобедренного треугольника. Что и требовалось доказать.
б) Поскольку призма ABCA1B1C1 прямая, то высота A1M треугольника A1B1C1 перпендикулярна плоскости BCC1. Поэтому прямая BM — проекция прямой A1B на плоскость BCC1. Значит, искомый угол равен углу A1BM.
и 
поэтому BM = 5 и
Отсюда
Следовательно, 
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |