а)  Най­дем сна­ча­ла объем пи­ра­ми­ды A₁AB₁D₁:

Объем приз­мы AA₁D₁BB₁C₁ равен по­ло­ви­не объ­е­ма куба, то есть по­это­му

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть точка M  — се­ре­ди­на AD₁, точка N  — се­ре­ди­на от­рез­ка BC₁, от­ре­зок BC₁ па­рал­ле­лен от­рез­ку AD₁, и диа­го­на­ли B₁C и BC₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны, зна­чит, от­ре­зок B₁N пер­пен­ди­ку­ля­рен от­рез­ку AD₁. Кроме того, пря­мая MN пер­пен­ди­ку­ляр­на от­рез­ку AD₁, сле­до­ва­тель­но, плос­кость MB₁N пер­пен­ди­ку­ляр­на от­рез­ку AD₁. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр NH из точки N на пря­мую MB₁, кроме этого, вы­со­та NH пер­пен­ди­ку­ляр­на от­рез­ку AD₁ (по­сколь­ку лежит в плос­ко­сти MB₁N), сле­до­ва­тель­но, вы­со­та NH пер­пен­ди­ку­ляр­на AB₁D₁ и яв­ля­ет­ся ис­ко­мым рас­сто­я­ни­ем.

Ис­ко­мый от­ре­зок NH яв­ля­ет­ся вы­со­той пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка MNB₁ с пря­мым углом N. По­это­му

Ответ: б)