PDF-версии: 
Дан куб ABCDA1B1C1D1.Длина ребра куба равна 1.
а) Докажите, что объем пирамиды B1AD1C1B равен 
б) Найдите расстояние от середины отрезка BC1 до плоскости AB1D1.
Решение. а) Найдем сначала объем пирамиды A1AB1D1:
Объем призмы AA1D1BB1C1 равен половине объема куба, то есть 
поэтому
что и требовалось доказать.
б) Пусть точка M — середина AD1, точка N — середина отрезка BC1, отрезок BC1 параллелен отрезку AD1, и диагонали B1C и BC1 перпендикулярны, значит, отрезок B1N перпендикулярен отрезку AD1. Кроме того, прямая MN перпендикулярна отрезку AD1, следовательно, плоскость MB1N перпендикулярна отрезку AD1. Опустим перпендикуляр NH из точки N на прямую MB1, кроме этого, высота NH перпендикулярна отрезку AD1 (поскольку лежит в плоскости MB1N), следовательно, высота NH перпендикулярна AB1D1 и является искомым расстоянием.
Искомый отрезок NH является высотой прямоугольного треугольника MNB1 с прямым углом N. Поэтому
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |