ЕГЭ–2026, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д15 C4 № 510365 Добавить в вариант

Две окружности пересекаются в точках P и Q. Прямая, проходящая через точку P, второй раз пересекает первую окружность в точке A, а вторую  — в точке D. Прямая, проходящая через точку Q параллельно AD, второй раз пересекает первую окружность в точке B, а вторую  — в точке C.

а)  Докажите, что четырёхугольник ABCD   — параллелограмм.

б)  Найдите отношение CP:PB, если радиус первой окружности втрое больше радиуса второй.

Спрятать решение

Решение.

а)  Обозначим $\angle BAD=\angle PAB= альфа .$ Поскольку ABQP и CDPQ  — вписанные четырёхугольники:

$\angle BQP=180 градусов минус альфа$

$\angle CQP=180 градусов минус \angle BQP=180 градусов минус левая круглая скобка 180 градусов минус альфа правая круглая скобка = альфа$

$\angle ADC=\angle PDC=180 градусов минус \angle PQC=180 градусов минус альфа$

Значит, $\angle BAD плюс \angle ADC=180 градусов,$ и поэтому $AB||CD.$ Противоположные стороны четырёхугольника ABCD попарно параллельны, следовательно, это параллелограмм.

б)  Пусть R  — радиус второй (меньшей) окружности. Тогда радиус большей окружности равен $3R.$ По теореме синусов:

$BP=2 умножить на 3R синус \angle BQP=6R синус левая круглая скобка 180 градусов минус альфа правая круглая скобка =6R синус альфа$

$PC=2R синус \angle CQP=2R синус альфа$

Следовательно,

$дробь: числитель: CP, знаменатель: PB конец дроби = дробь: числитель: 2R синус альфа , знаменатель: 6R синус альфа конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$

Ответ: $CP:PB=1:3.$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а, и обосно- ванно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обосно- ванном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифмети- ческой ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Аналоги к заданию № 504243: 510365 Все

Методы геометрии: Теорема синусов

Классификатор планиметрии: Окружности, Окружности и четырёхугольники, Окружность, описанная вокруг четырехугольника

Спрятать решение · Прототип задания · Спрятать критерии · Помощь