PDF-версии: 
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 высота равна 1, а ребро основания равно 2.
а) Докажите, что объем пирамиды 
вдвое больше объема пирамиды 
б) Найдите расстояние от точки A1 до прямой BC1.
Решение. а) Пусть объём исходной призмы равен V. Тогда объём пирамиды С1ABC равен
поскольку у нее такое же основание и такая же высота, как у исходной призмы. Объём пирамиды A1ABC равен объёму пирамиды С1ABC. Тогда объём четырехугольной пирамиды A1BCC1B1 равен
то есть вдвое больше объема пирамиды ACBС1. Что и требовалось доказать.
б) Искомое расстояние равно высоте A1H треугольника A1BC1. Треугольник равнобедренный, поскольку 
Дополнительно проведём высоту и медиану BM. Найдём её длину:
Площадь треугольника A1BC равна
откуда получаем уравнение 
Следовательно,
Ответ: б) 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |