На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. Затем в каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 17 заменили на число 71).
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Пусть исходные числа равны 
и пусть 
причем 
а) Решим систему уравнений:
Примером исходного набора чисел может быть 22 двузначных числа, начинающихся с единицы, сумма единиц которых дает 143. Например, это двадцать чисел 17, число 11 и число 12.
б) Решим систему уравнений:
Полученная система не имеет целых решений, поэтому условие п. б) невозможно.
в) Требуется определить, для какого наибольшего S имеет натуральные решения система уравнений
Заметим, что 363 кратно 33, поэтому из второго уравнения заключаем, что S кратно 33, то есть 
Тогда
Наибольшему значению S соответствует наибольшее значение k, причем из первого уравнения ясно, что 
Вспоминая, что 
получаем оценки 
и 
находим, что наибольшее k будет достигнуто при одновременном выполнении 
и 
то есть, при выполнении системы неравенств:
Тогда
Наибольшим значением k, при котором A и B будут натуральными, является 
(
). Таким образом, наибольшее значение 
Это может быть достигнуто при таком наборе чисел: одиннадцать чисел 19, семь чисел 18 и одно число 28 (
).