В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 4. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.
а) Докажите, что A1P: PB1 = 2:1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A1B1.
б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB1C1C.
В плоскости BB1D1D через точку К проведем прямую параллельно BD1. Пусть эта прямая пересекает диагональ B1D1 в точке L. В плоскости основания A1B1C1D1 проведем прямую C1L, пусть она пересекает сторону A1B1 в точке P. Треугольник KPC1 — сечение, проходящее через точки К и С1 параллельно прямой BD1. Действительно, прямая BD1 параллельна плоскости сечения, так как параллельна лежащей в нем прямой KL.
В плоскости основания A1B1C1D1 через точку A1 проведем прямую параллельно C1P. Пусть она пересекает D1В1 в точке М. Заметим, что В1L : В1D1 = 1 : 3 и D1M : В1D1 = 1 : 3, поэтому МL : LB1 = 2 : 1. По теореме Фалеса параллельные прямые высекают на сторонах угла A1B1M пропорциональные отрезки, поэтому A1P : PB1 = МL1 : LB1 = 2 : 1. Что и требовалось доказать.
Пусть теперь точка N — основание высоты PN треугольника КB1С1, являющегося проекцией наклонной PN на плоскость BB1C1C. Тогда угол PNB1 — линейный угол искомого двугранного угла. Имеем:
Тем самым, 
----------
Дублирует задание 509202.
Здесь оставлено решение с ошибками.