Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 509927
i

На ребре AA1 пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA1B1C1D1 взята точка E так, что A1E : EA  =  6 : 1, на ребре BB1  — точка F так, что B1F : FB = 3 : 4, а точка T  — се­ре­ди­на ребра B1C1. Из­вест­но, что AB = 4 ко­рень из 2 , AD = 30, AA1  =  35.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость EFT про­хо­дит через вер­ши­ну D1.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью EFT.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Плос­кость EFT пе­ре­се­ка­ет грани BB1C1C и AA1D1D по па­рал­лель­ным от­рез­кам.

TB_1=15,B_1F= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: конец дроби 7 умно­жить на 35=15,A_1E= дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: 7 конец дроби умно­жить на 35=30,A_1D_1=30.

Зна­чит, тре­уголь­ни­ки D1A1E и TB1F по­доб­ны, причём пря­мые D1A1 и B1C1 па­рал­лель­ны, пря­мые A1E и B1F тоже па­рал­лель­ны. По­это­му пря­мые ED1 и FT также па­рал­лель­ны. Если плос­кость EFT не про­хо­дит через точку D1, то по­лу­ча­ет­ся, что в плос­ко­сти AA1D1D через точку E про­хо­дят две раз­лич­ные пря­мые, па­рал­лель­ные пря­мой FT. По­лу­чи­ли про­ти­во­ре­чие.

б)  Се­че­ние па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью EFT  — тра­пе­ция. Про­ведём через точку F пря­мую, па­рал­лель­ную пря­мой AB. По­лу­чим точку P на ребре AA1.

PE=A_1E минус B_1F=15,PF=4 ко­рень из 2 .

Тогда

EF= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: PE в квад­ра­те плюс PF в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 225 плюс 32 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 257 конец ар­гу­мен­та ;

D_1T= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: D_1C_1 в квад­ра­те плюс C_1T в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 32 плюс 225 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 257 конец ар­гу­мен­та .

Сле­до­ва­тель­но, EF = D1T, и тра­пе­ция EFTD1 рав­но­бед­рен­ная. Про­ведём в ней вы­со­ту TH.

D_1H= дробь: чис­ли­тель: D_1E минус TF, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 30 ко­рень из 2 минус 15 ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 15 ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ;

TH= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: D_1T в квад­ра­те минус D_1H в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 257 минус дробь: чис­ли­тель: 225, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: дробь: чис­ли­тель: 289, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 17 ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Тогда пло­щадь тра­пе­ции равна

дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка D_1E плюс TF пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на TH= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби левая круг­лая скоб­ка 30 ко­рень из 2 плюс 15 ко­рень из 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 17 ко­рень из 2 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 45 умно­жить на 17, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 765, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =382,5.

 

Ответ: б) 382,5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3

Аналоги к заданию № 509580: 509927 Все

Классификатор стереометрии: Пло­щадь се­че­ния, Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед, Се­че­ние  — тра­пе­ция, Се­че­ние, про­хо­дя­щее через три точки, По­стро­е­ния в про­стран­стве
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026