PDF-версии: 
Внутри правильного тетраэдра с ребром a расположены четыре равных шара. Каждый шар касается трёх других и трёх граней тетраэдра. Найдите радиусы шаров.
Решение. Пусть r — искомый радиус. Соединим попарно центры шаров. Получим правильный тетраэдр со стороной 2r. Так как шары вписаны в трёхгранные углы при вершинах правильного тетраэдра, то их центры лежат на соответствующих высотах тетраэдра. Поэтому центр правильного тетраэдра с вершинами в центрах данных шаров совпадает с центром O данного правильного тетраэдра.
Пусть шар радиуса r с центром O1, вписанный в трёхгранный угол с вершиной D, касается плоскости грани ABD данного правильного тетраэдра ABCD со стороной a в точке P.
Тогда
Пусть M — центр основания ABC, K — середина AB, φ — угол между высотой тетраэдра и плоскостью его грани. Из прямоугольного треугольника DMK находим, что
Значит, 
или 
откуда находим, что 
Ответ:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |