А) Докажите, что среди произвольных 11 натуральных чисел всегда найдутся два, разность которых кратна 10.
Б) Докажите, что среди произвольных 11 целых чисел всегда найдутся два, разность которых кратна 10.
В) Докажите, что среди произвольных 10 натуральных чисел всегда найдутся несколько, сумма которых делится на 10.
а) Посмотрим на остатки от деления этих 11 чисел на 10. Чисел 11, а различных остатков 10, поэтому обязательно найдутся два числа с одинаковыми остатками. Разность этих двух чисел и будет кратна 10.
б) Решение буквально повторяет пункт а).
в) Расположим числа в произвольном порядке. Рассмотрим следующие суммы:
- первое число из набора
- сумма первых двух чисел в наборе
- сумма первых трех чисел в наборе
.................
- сумма всех чисел набора.
Всего таких сумм будет ровно 10. Если какая-то сумма делится на 10, то задача решена. Если никакая сумма не делится на 10, то есть среди остатков нет равного 0, то рассмотрим остатки от деления этих сумм на 10.
Всего может быть не более 9 различных остатков, а сумм ровно 10 - значит, какие-то две суммы дают при делении на 10 одинаковые остатки и, соответственно их разность будет делиться на 10. Нетрудно убедиться, что эта разность есть сумма одного или нескольких чисел из данного набора, так как каждая следующая сумма получается из предыдущей путем добавления одного числа из данного набора.