Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д8 C1 № 508666
i

Дано урав­не­ние синус 7x минус синус x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус 4x.

а)  Ре­ши­те урав­не­ние.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус 3 Пи ; минус 2 Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

А)  По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

синус 7x минус синус x= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус 4x рав­но­силь­но 2 ко­си­нус 4x умно­жить на синус 3x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус 4x=0 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус 4x умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та синус 3x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка ко­си­нус 4x=0 , новая стро­ка синус 3x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка 4x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс Пи n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка 3x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка 3x= дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n,n при­над­ле­жит Z конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи n,n при­над­ле­жит Z , новая стро­ка x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи n,n при­над­ле­жит Z . конец со­во­куп­но­сти .

 

Б)  Вы­бор­ка кор­ней. Решим не­ра­вен­ства от­но­си­тель­но целых n.

Из пер­вой серии ре­ше­ний:

минус 3 Пи мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби n мень­ше или равно минус 2 Пи рав­но­силь­но минус 24 мень­ше или равно 1 плюс 2n мень­ше или равно минус 16 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но минус 25 мень­ше или равно 2n мень­ше или равно минус 17 рав­но­силь­но минус 12,5 мень­ше или равно n мень­ше или равно минус 8,5 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний новая стро­ка n= минус 12 , новая стро­ка n= минус 11 , новая стро­ка n= минус 10 , новая стро­ка n= минус 9 . конец со­во­куп­но­сти .

 

При n= минус 12: x_1= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби минус 3 Пи = минус дробь: чис­ли­тель: 23 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ; при n= минус 11: x_2= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 21 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ;

при n= минус 10: x_3= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 10 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 19 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ; при n= минус 9: x_4= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 17 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Из вто­рой серии ре­ше­ний:

минус 3 Пи мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи n, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно минус 2 Пи рав­но­силь­но минус 36 мень­ше или равно 1 плюс 8n мень­ше или равно минус 24 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но минус 37 мень­ше или равно 8n мень­ше или равно минус 23 рав­но­силь­но минус целая часть: 4, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 8 мень­ше или равно n мень­ше или равно минус целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 рав­но­силь­но n= минус 4;

x_5= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 8 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 31 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

Из тре­тьей серии ре­ше­ний:

минус 3 Пи мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2 Пи n, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно минус 2 Пи рав­но­силь­но минус 36 мень­ше или равно 3 плюс 8n мень­ше или равно минус 24 рав­но­силь­но рав­но­силь­но
рав­но­силь­но минус 39 мень­ше или равно 8n мень­ше или равно минус 27 рав­но­силь­но минус целая часть: 4, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 8 мень­ше или равно n мень­ше или равно минус целая часть: 3, дроб­ная часть: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 8 рав­но­силь­но n= минус 4;

 

x_6= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 8 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 29 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

 

Ответ: а) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи n, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ,n при­над­ле­жит Z; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи n,n при­над­ле­жит Z; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби Пи n,n при­над­ле­жит Z. б) минус дробь: чис­ли­тель: 23 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 21 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 19 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 17 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 31 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 29 Пи , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а, или в пунк­те б.

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния обоих пунк­тов — пунк­та а и пунк­та б.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 108
Классификатор алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли
Методы алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти функ­ций
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025