ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 508660 Добавить в вариант

Найдите все а, при каждом из которых неравенство $левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате минус 3 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате минус a правая круглая скобка меньше 0$ имеет ровно четыре целочисленных решения (x; у).

Спрятать решение

Решение.

Для того, чтобы пара чисел была решением неравенства, необходимо и достаточно, чтобы одно из выражений в скобках было положительно, а второе отрицательно. Выясним, когда так происходит.

Выражение в первой скобке отрицательно в точках $левая круглая скобка 0;0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка \pm 1;0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0;\pm 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка \pm 1;\pm 1 правая круглая скобка$ и положительно во всех остальных точках.

Разберем несколько случаев.

$a меньше 1.$ Выражение во второй скобке положительно в точках $левая круглая скобка \pm 1;0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0;\pm 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка \pm 1;\pm 1 правая круглая скобка ,$ что дает уже 8 решений.

$a принадлежит левая квадратная скобка 1;2 правая круглая скобка .$ Выражение во второй скобке неположительно только в точках $левая круглая скобка 0;0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка \pm 1;0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0;\pm 1 правая круглая скобка ,$ поэтому имеется ровно 4 решения $левая круглая скобка \pm 1;\pm 1 правая круглая скобка .$

$a принадлежит левая квадратная скобка 2;4 правая круглая скобка .$ Выражение во второй скобке неположительно только в точках $левая круглая скобка 0;0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка \pm 1;0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0;\pm 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка \pm 1;\pm 1 правая круглая скобка ,$ решений нет.

$a=4.$ Выражение во второй скобке неположительно только в точках

$левая круглая скобка 0;0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка \pm 1;0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0;\pm 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка \pm 1;\pm 1 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка \pm 2;0 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка 0;\pm 2 правая круглая скобка ,$ решений нет.

$a принадлежит левая круглая скобка 4;5 правая квадратная скобка .$ Выражение во второй скобке отрицательно только в точках.

$a больше 5.$ Выражение во второй скобке отрицательно в точках $левая круглая скобка \pm 1;\pm 2 правая круглая скобка ,$ $левая круглая скобка \pm 2; \pm 1 правая круглая скобка ,$ что дает уже 8 решений.

Ответ: $a принадлежит левая квадратная скобка 1;2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4;5 правая квадратная скобка .$

Примечание. С геометрической точки зрения мы ищем целые точки в некотором кольце с центром в начале координат.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек.	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a.	2
Верно найдена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a ИЛИ установлено, что исходное уравнение при всех значениях a имеет единственное решение .	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 102

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь