Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д15 C4 № 508658
i

CA и СВ  — ка­са­тель­ные к окруж­но­сти в точ­ках А и В со­от­вет­ствен­но, АD  — её диа­метр. Пря­мые ВD и АС пе­ре­се­ка­ют­ся в точке E.

А)  До­ка­жи­те, что точка С – се­ре­ди­на от­рез­ка АЕ.

Б)  Най­ди­те сумму ра­ди­у­сов окруж­но­стей, впи­сан­ных в  тре­уголь­ни­ки ABE, ABD и AED, если из­вест­но, что ВA  =  12.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Обо­зна­чим \angle CAB=\angle CBA= альфа . Тогда \angle CBE=\angle ABE минус альфа =90 гра­ду­сов минус альфа (по­сколь­ку BD\perp AB, так как \angle ABD опи­ра­ет­ся на диа­метр окруж­но­сти). Далее

\angle BCE=\angle CAB плюс \angle CBA=2 альфа и \angle CEB=180 гра­ду­сов минус 2 альфа минус левая круг­лая скоб­ка 90 гра­ду­сов минус альфа пра­вая круг­лая скоб­ка =90 гра­ду­сов минус альфа .

Итак, тре­уголь­ни­ки ACB и ECB рав­но­бед­рен­ные, по­это­му AC=CB=CE, зна­чит, C  — се­ре­ди­на AE.

б)  Из­вест­но, что если a, b  — ка­те­ты пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, c  — его ги­по­те­ну­за, то ра­ди­ус впи­сан­ной в него окруж­но­сти равен дробь: чис­ли­тель: a плюс b минус c, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

По­сколь­ку все упо­мя­ну­тые в усло­вии тре­уголь­ни­ки пря­мо­уголь­ные, то ис­ко­мая сумма ра­ди­у­сов равна

дробь: чис­ли­тель: AB плюс BE минус AE, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: AB плюс BD минус AD, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: AD плюс AE минус DE, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 2AB плюс BE плюс BD минус DE, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =AB=12.

 

Ответ: 12.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б.3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б.

ИЛИ

Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а.

ИЛИ

При обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки.

ИЛИ

Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б и ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а, при этом пункт а не вы­пол­нен.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 102
Методы геометрии: Углы в окруж­но­стях {центр., впис., опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Впи­сан­ный угол, опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр, Окруж­но­сти
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025