31 декабря 2014 года Савелий взял в банке 7 378 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Савелий переводит в банк платёж. Весь долг Савелий выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
Заметим, что увеличение долга на 12,5% есть увеличение его в 
раза.
| Дата | Долг при условии, что Савелий выплатил долг за 3 равных платежа | Долг при условии, что Савелий выплатил долг за 2 равных платежа |
|---|---|---|
| 31.12.2014 | Долг: 7 378 000 руб. | Долг: 7 378 000 руб. |
| 31.12.2015 | Долг увеличен, стал  руб. | Долг увеличен, стал руб. |
| До 31.12.2016 | Савелий перевел в банк х руб. Долг уменьшился и стал  руб. | Савелий перевел в банк у руб. Долг уменьшился и стал  руб. |
| 31.12.2016 | Долг увеличен в  раза,стал  руб. | Долг увеличен в раза, стал  руб. |
| До 31.12.2017 | Савелий перевел в банк х руб. Долг уменьшился и стал  руб., т. е.  руб. | Савелий перевел в банк у руб. Долг уменьшился и стал  руб., т. е.  руб. Савелий расплатился за 2 равных платежа. Долга нет. Т. е.  |
| 31.12.2017 | Долг увеличен в раза, стал  руб. | Долг 0 руб. |
| До 31.12.2018 | Савелий перевел в банк х руб. Долг уменьшился и стал  руб., т. е.  руб. Савелий расплатился за 3 равных платежа. Долга нет. Т. е.  | Долг 0 руб. |
Из таблицы получаем, что ежегодные платежи в первом случае: 
Во втором случае: 
Найдём насколько рублей меньше отдал бы Савелий банку, если бы выплачивал долг двумя равными платежами:
Ответ: 506 250.
Добрый день!
В качестве другого способа (или для проверки) можно использовать теорему об аннуитетных платежах (т. н. формулу Гущина):
где
При
получаем:
При
получаем:
Комбинируя эти соотношения c учетом
получим:
С уважением, Андрей Анатольевич.