PDF-версии: 
В треугольнике ABC точка O — центр описанной окружности, точка R лежит на отрезке BC и BR = RC. Описанная около треугольника BRO окружность пересекает AB в точке T.
а) Докажите, что TR || AC.
б) Найдите площадь треугольника ABC, если известно, что угол BOR равен 30°, RT = 8, BT = 6.
Решение.
а) Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров. Покажем, что точка T является серединой стороны AB. Во-первых, треугольник BOR является прямоугольным (так как R — середина BC, то OR — серединный перпендикуляр, поэтому 
), то есть получается, что BO — гипотенуза и диаметр малой окружности с центром в точке E. Далее, треугольник BTO вписан в малую окружность, а его угол BTO опирается на диаметр, и потому равен 
Так как 
и O является центром окружности, описанной вокруг треугольника ABC, то OT — серединный перпендикуляр, то есть T — середина AB. Значит, TR — средняя линия треугольника ABC, поэтому TR || AC.
б) Из предыдущего пункта получаем, что AC = 2TR = 16, AB = 2TB = 12. Углы ROB и RTB опираются на одну и ту же дугу RB, поэтому они равны. Отсюда получаем, что 
(как соответственные при параллельных прямых). В итоге получаем:
Ответ: 48.
Примечание.
Это задача из варианта № 90 А. Ларина дублирует задачу из варианта № 55 (задача 505685 в нашем каталоге).
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |