PDF-версии: 
Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 12 и BC = 5. С центром в вершине B проведена окружность S радиуса 8. Найдите радиус окружности, вписанной в угол BAC и касающейся окружности S.
Решение. Обозначим ∠BAC = α. Тогда
Пусть x — радиус искомой окружности, O — ее центр, D — точка касания с лучом AC, M — точка касания с окружностью S, E — проекция точки O на прямую BC. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит,
Из прямоугольного треугольника OAD находим, что
Заметим, что условию задачи удовлетворяют две окружности: центр одной расположен внутри треугольника ABC, а центр второй — вне, причём искомая окружность касается окружности S внешним образом, значит, BO = BM + MO = 8 + x. В первом случае точка D лежит на катете AC, поэтому
Причём AD < AC, то есть 5x < 12, откуда 
По теореме Пифагора:
Учитывая, что 
находим, что 
Во втором случае точка D лежит на продолжении катета AC за точку C, поэтому OE = CD = AD − AC = 5x − 12, причём AD > AC, то есть 
Тогда 
Учитывая, что 
находим, что x = 5 (это значит, что OD = BC, то есть точка E совпадает с вершиной B).
Ответ: 
или 5.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
или 5. или 5.