№№ заданий Пояснения Ответы Ключ Добавить инструкцию Критерии
Источник Классификатор базовой части Классификатор планиметрии Классификатор стереометрии Методы алгебры Методы геометрии Раздел Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ Справка
PDF-версия PDF-версия (вертикальная) PDF-версия (крупный шрифт) PDF-версия (с большим полем) Версия для копирования в MS Word
Задания
Задания Д11 C4 № 507677

Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами AC = 12 и BC = 5. С центром в вершине B проведена окружность S радиуса 8. Найдите радиус окружности, вписанной в угол BAC и касающейся окружности S.

Решение.

Обозначим ∠BAC = α. Тогда

 

Пусть x — радиус искомой окружности, O — ее центр, D — точка касания с лучом AC, M — точка касания с окружностью S, E — проекция точки O на прямую BC. Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, значит,

Из прямоугольного треугольника OAD находим, что

Заметим, что условию задачи удовлетворяют две окружности: центр одной расположен внутри треугольника ABC, а центр второй — вне, причём искомая окружность касается окружности S внешним образом, значит, BO = BM + MO = 8 + x. В первом случае точка D лежит на катете AC, поэтому

Причём AD < AC, то есть 5x < 12, откуда По теореме Пифагора:

Учитывая, что находим, что

Во втором случае точка D лежит на продолжении катета AC за точку C, поэтому OE = CD = AD − AC = 5x − 12, причём AD > AC, то есть

Тогда

Учитывая, что находим, что x = 5 (это значит, что OD = BC, то есть точка E совпадает с вершиной B).

 

Ответ: или 5.

· ·