Тип Д14 C4 № 507647 
Многоконфигурационная планиметрическая задача. Окружности и четырёхугольники
i
Площадь трапеции ABCD равна 72, а одно из оснований трапеции вдвое больше другого. Диагонали пересекаются в точке O, отрезки, соединяющие середину P основания AD с вершинами B и C, пересекаются с диагоналями трапеции в точках M и N соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OMPN.
Решение. 
Пусть h — высота трапеции, а основания равны a и 2a. Тогда
Откуда ah = 48.
Первый случай. Пусть AD = 2a, BC = a. Четырёхугольники ABCP и BCDP — параллелограммы, поэтому M и N — середины BP и CP соответственно, значит, CM и BN — медианы треугольника BPC. Следовательно, 
а 
Значит,
Второй случай. Пусть теперь BC = 2a, AD = a. Пусть AM = 3t. Треугольник AOD подобен треугольнику COB с коэффициентом подобия 2, а треугольник AMP — треугольнику CMB с коэффициентом 
Тогда
Аналогично, 
Высота треугольника AOD, проведённая из вершины O, равна 
значит:
Следовательно,
Ответ: 8 или 3,2.
Критерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ: 8 или 3,2.
PDF-версии: