РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип 13 № 507583 Добавить в вариант

Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители

Методы алгебры: Формулы половинного аргумента

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным

а)  Решите уравнение: $4 синус в степени 4 2x плюс 3 косинус 4x минус 1=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка Пи ; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Решение. а)  Воспользуемся формулой $синус в квадрате y= дробь: числитель: 1 минус косинус 2y, знаменатель: 2 конец дроби .$ Из неё следует, что $синус в степени 4 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби левая круглая скобка косинус в квадрате 4x минус 2 косинус 4x плюс 1 правая круглая скобка .$ Поэтому уравнение можно преобразовать так:

$косинус в квадрате 4x минус 2 косинус 4x плюс 1 плюс 3 косинус 4x минус 1= 0 равносильно косинус в квадрате 4x плюс косинус 4x = 0 равносильно$

$равносильно совокупность выражений косинус 4x = минус 1, косинус 4x = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 4x = Пи плюс 2 Пи k,4x= дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i2 плюс Пи k,k принадлежит Z конец совокупности . равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i4 плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , левая круглая скобка * правая круглая скобка x= дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i8 плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби , левая круглая скобка ** правая круглая скобка конец совокупности .k принадлежит Z .$ $равносильно совокупность выражений косинус 4x = минус 1, косинус 4x = 0 конец совокупности . равносильно совокупность выражений 4x = Пи плюс 2 Пи k,4x= дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i2 плюс Пи k,k принадлежит Z конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений x= дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i4 плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , левая круглая скобка * правая круглая скобка x= дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i8 плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби , левая круглая скобка ** правая круглая скобка конец совокупности .k принадлежит Z .$

б)  При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие заданному отрезку.

Получим: $x= дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ;$ $x= дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ;$ $x= дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Ответ: а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i4 плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i8 плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Приведём другое решение пункта а.

$4 синус в степени 4 2x плюс 3 косинус 4x минус 1=0 равносильно 4 синус в степени 4 2x плюс 3 умножить на левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате 2x правая круглая скобка минус 1=0 равносильно 4 синус в степени 4 2x минус 6 синус в квадрате 2x плюс 2=0 равносильно$ $4 синус в степени 4 2x плюс 3 косинус 4x минус 1=0 равносильно 4 синус в степени 4 2x плюс 3 умножить на левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате 2x правая круглая скобка минус 1=0 равносильно$
$равносильно 4 синус в степени 4 2x минус 6 синус в квадрате 2x плюс 2=0 равносильно$ $4 синус в степени 4 2x плюс 3 косинус 4x минус 1=0 равносильно$
$равносильно 4 синус в степени 4 2x плюс 3 умножить на левая круглая скобка 1 минус 2 синус в квадрате 2x правая круглая скобка минус 1=0 равносильно$
$равносильно 4 синус в степени 4 2x минус 6 синус в квадрате 2x плюс 2=0 равносильно$

$равносильно 2 синус в степени 4 2x минус 3 синус в квадрате 2x плюс 1=0 равносильно совокупность выражений синус в квадрате 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус в квадрате 2x =1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус 2x=\pm дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус 2x=\pm1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k конец совокупности . k принадлежит Z равносильно совокупность выражений x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . k принадлежит Z .$ $равносильно 2 синус в степени 4 2x минус 3 синус в квадрате 2x плюс 1=0 равносильно$
$равносильно совокупность выражений синус в квадрате 2x = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби , синус в квадрате 2x =1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус 2x=\pm дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби , синус 2x=\pm1 конец совокупности . равносильно$
$равносильно совокупность выражений 2x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k, 2x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс Пи k конец совокупности . k принадлежит Z равносильно совокупность выражений x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ,x= дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби конец совокупности . k принадлежит Z .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

507583

а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i4 плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i8 плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$

Методы алгебры: Формулы половинного аргумента

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507583	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i4 плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: знаменатель: p конец дроби i8 плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 4 конец дроби : k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $дробь: числитель: 9 Пи , знаменатель: 8 конец дроби ; дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; дробь: числитель: 11 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .$