PDF-версии: 
Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 
Точки М и Т — середины ребер AD и A1B1 соответственно.
а) Докажите, что 
б) Найдите расстояние от середины ребра B1C1 до прямой МТ.
Решение. а) Проекция точки M на плоскость
— это середина ребра 
Поэтому проекция прямой MT на плоскость параллельна прямой 
по теореме о средней линии. Значит, она перпендикулярна прямой 
тогда по теореме о трех перпендикулярах и прямая MT перпендикулярна прямой 
б) Пусть P — середина ребра 
а Q — середина ребра 
Заметим, что PMQT — трапеция, поскольку 
Получаем:
Заметим, что 
Продлим прямые MQ и PT и обозначим точку их пересечения 
В треугольнике MNP 
значит, QT является средней линией, и T — середина 
Треугольник MNP правильный. MT — медиана и высота. Значит, PT — перпендикуляр к MT и искомое расстояние равно 
Ответ: 2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |