PDF-версии: 
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1.
а) Докажите, что точки D1, E и F1 лежат на сфере с центром в точке B.
б) Найдите расстояние от точки B до прямой F1E1.
Решение. а) Достаточно доказать, что равны между собой отрезки BD1, BE и BF1. Действительно,
как большая диагональ правильного шестиугольника со стороной 1. Далее, так как меньшая диагональ правильного шестиугольника со стороной 1 
откуда 
Совершенно аналогично 
Поэтому точки D1, E, F1 лежат на сфере радиуса 2 с центром в точке B. Что и требовалось доказать.
б) Проведем отрезки BF и BF1, тогда отрезок BF перпендикулярен ребру BC, поскольку 
а 
Отрезок BF — проекция отрезка BF1 на плоскость основания. По теореме о трех перпендикулярах отрезок BF1 перпендикулярен ребру E1F1. Таким образом, искомое расстояние — длина отрезка BF1.
Рассмотрим треугольник BFF1. Он прямоугольный, 
и 
По теореме Пифагора находим: 
Ответ: б) 2.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |