PDF-версии: 
Расстояние между центрами окружностей радиусов 1 и 9 равно 17. Обе окружности лежат по одну сторону от общей касательной. Третья окружность касается обеих окружностей и их общей касательной. Найдите радиус третьей окружности.
Решение. Докажем сначала следующее утверждение. Если a — расстояние между центрами окружностей радиусов r и R, a ≥ r + R, общая внешняя касательная касается окружностей в точках A и B, то
Действительно, пусть O1 и O2 — центры окружностей радиусов r и R соответственно (см. рис.). Из точек O1 и O2 опустим перпендикуляры O1Q на прямую O2B. Из прямоугольного треугольника O1QO2 находим, что
Пусть x — радиус третьей окружности, C — её точка касания с прямой AB. по доказанному:
Возможны четыре случая.
1. Если точка C лежит между A и B (см. рис.), то AC + CB = AB, или 
Тогда 
откуда 
2. Если точка C лежит на продолжении отрезка AB (см. рис.), то CB − AC = AB, или 
Тогда 
откуда 
3 и 4. Если точка C совпадает с одной из точек A или B, а касание с соответствующей окружностью происходит внутренним образом. Тогда в случае внешнего касания с меньшей окружностью
В случае касания большей окружностью, 
откуда 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ | 3 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины | 2 |
| Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |