Ре­ше­ние. Пусть Q  — центр ис­ко­мой окруж­но­сти ра­ди­у­са R, B  — точка ка­са­ния этой окруж­но­сти со сто­ро­ной AO, C  — точка ка­са­ния окруж­но­стей. Центр окруж­но­сти, впи­сан­ной в угол лежит на бис­сек­три­се угла, зна­чит, ∠BAQ  =  45°. Тогда AB  =  QB  =  R. Линия цен­тров двух ка­са­ю­щих­ся окруж­но­стей про­хо­дит через точку их ка­са­ния, по­это­му OQ  =  OC + CQ  =  1 + R.

Рас­смот­рим слу­чай, когда точка B лежит между A и O. (см. рис.). Тогда R < 7. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра OQ²  =  QB² + OB², или (1 + R)²  =  R² + (7 − R)². После оче­вид­ных упро­ще­ний по­лу­чим урав­не­ние R² − 16R + 48  =  0, учи­ты­вая, что R < 7, на­хо­дим, что R  =  4.

Если же точка O лежит между A и B (см. рис.), то ана­ло­гич­но по­лу­чим, что R  =  12.

Ответ: 4 или 12.