РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Задания

Тип Д14 C4 № 507370 Добавить в вариант

Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники, Окружности и четырёхугольники, Окружность, вписанная в треугольник

Многоконфигурационная планиметрическая задача. Окружности и четырёхугольники

Дан параллелограмм ABCD, AB = 2, BC = 3, ∠A = 60°. Окружность с центром в точке O касается биссектрисы угла D и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырёхугольника ABOD.

Решение. Окружностей две: каждая из них вписанная в правильный треугольник. Эти треугольники имеют стороны равные 3 и 2 соответственно. Для треугольника со стороной 3 радиус равен $r= дробь: числитель: 3 умножить на синус 60 градусов, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Найдем площадь невыпуклого четырехугольника как сумму площадей треугольников AOB и $AOD:$

$S_ABOD= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB умножить на r плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AD умножить на r= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 5 умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 5 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

Для треугольника со стороной 2 радиус равен $r= дробь: числитель: 2 умножить на синус 60 градусов, знаменатель: 3 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 3 конец дроби .$

Чтобы найти площадь четырехугольника ABOD, вычтем из площади параллелограмма площади треугольников BOC и $DOC:$

$S_ABOD=AB умножить на AD умножить на синус 60 градусов минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC умножить на r минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби CD умножить на r= дробь: числитель: 13 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: $дробь: числитель: 5 корень из 3 , знаменатель: 4 конец дроби$ или $дробь: числитель: 13 корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби .$

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Рассмотрены все возможные геометрические конфигурации, и получен правильный ответ	3
Рассмотрена хотя бы одна возможная конфигурация, в которой получено правильное значение искомой величины	2
Рассмотрена хотя бы одна возможная геометрическая конфигурация, в которой получено значение искомой величины, неправильное из-за геометрической ошибки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	3

507370

$дробь: числитель: 5 корень из 3 , знаменатель: 4 конец дроби$ или $дробь: числитель: 13 корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	507370	$дробь: числитель: 5 корень из 3 , знаменатель: 4 конец дроби$ или $дробь: числитель: 13 корень из 3 , знаменатель: 6 конец дроби .$